next up previous contents
Next: Equazioni risolubili per radicali Up: Le lezioni Previous: Chiusure spezzanti e chiusure   Indice

Subsections

Estensioni normali e sottogruppi normali

Campi intermedi stabili

Nella corrispondenza di Galois, ad estensioni normali corrispondono proprio quelli che si dicono sottogruppi normali. In realtà la normalità di una sottogruppo corrisponde a una proprietà che si dice stabilità; nel caso algebrico questa corrisponde alla normalità di una estensione.

Sia $ E / F$ una estensione. Un campo intermedio $ L$ si dice stabile rispetto a $ E / F$ se per ogni $ g \in \Gal ( E/F )$ si ha $ L g = L$. Notate che non si chiede che $ L$ sia fissato elemento per elemento, ma solo che sia mandato in se.

Teorema 1   Sia $ E / F$ una estensione, $ G = \Gal ( E / F )$.
  1. Se $ L$ è un campo intermedio stabile, allora $ L'$ è un sottogruppo normale di $ G$.
  2. Se $ H$ è un sottogruppo normale di $ G$, allora $ H'$ è un campo intermedio stabile.

Dimostrazione. Sia $ L$ un campo intermedio stabile. Dobbiamo far vedere che $ L'$ è un sottogruppo normale di $ G$, e cioè che per ogni $ g \in G$ e ogni $ h \in L'$ si ha $ g^{-1} h g \in L'$. Dunque dobbiamo vedere che per ogni $ a \in L$ si ha $ a g^{-1} h g = a$. Ora per la stabilità si ha $ a g^{-1} \in L$, dunque $ a g^{-1} h = a g^{-1}$, e $ a g^{-1} h g = a g^{-1} g = a$ come richiesto.

Viceversa, sia $ H$ normale in $ G$, sia $ a \in H'$, $ g \in G$. Dobbiamo vedere che $ a g \in H'$, cioè che per ogni $ h \in H$ valga $ (a g) h = a g$. Ma poiché $ H$ è normale si ha $ g h = k g$ per qualche $ k \in H$, e dunque $ a g h = a k g = a g$ come richiesto, dato che $ a \in H'$ e $ k \in H$.

Stabilità e normalità

Corollario 1   Siano $ F \subseteq K \subseteq E$ campi.
  1. Se $ E / F$ è normale, e $ K$ è stabile in $ E / F$, allora $ K / F$ è normale.
  2. Se $ K / F$ è normale e algebrica, allora $ K$ è stabile in $ E / F$.

Questi risultati mostrano che nel caso algebrico dire che $ K / F$ è normale è la stessa cosa che dire che $ K$ è stabile in $ E / F$, e quindi che $ K$ è un sottogruppo normale di $ \Gal(E/F)$.

Notiamo già che ci siamo che invece $ E/K$ è sempre una estensione normale, se $ E / F$ è normale di grado finito. Infatti per il Teorema 3.9.3 $ K$ è chiuso nella corrispondenza di Galois, e dunque $ K = K'' = \Gal(E/K)'$. Questa è proprio la definizione di normalità per $ E/K$.

Vedremo più avanti un fatto più generale in questa direzione.

Dimostrazione. Sia $ a \in K \setminus F$. Per la normalità di $ E / F$ esiste un $ g \in G = \Gal(E/F)$ tale che $ a g \ne a$. Dato che $ K$ è stabile, la restrizione $ h = g \mid_{K}$ manda $ K$ in $ K$, ed è quindi un elemento di $ \Gal(K/F)$. Dato che $ a h = a g \ne a$, ne segue che $ K / F$ è normale.

Per la seconda parte, dobbiamo dimostrare che se $ a \in K$, e $ g \in G = \Gal(E/F)$, allora $ a g \in K$. Sia $ f$ il polinomio minimo di $ a$ su $ K$. Per il Teorema 4.1.1, $ f$ ha tutte le sue radici in $ K$. Ora $ g$ deve mandare $ a$ in un'altra radice di $ f$, e quindi comunque in un altro elemento di $ K$. Ne segue che $ K$ è stabile.

Sia adesso $ E / F$ una estensione normale di grado finito, e sia $ K$ un campo intermedio, con $ K / F$ normale, e dunque $ K' = \Gal(E/K)$ normale in $ G = \Gal ( E / F )$. Dato che $ K$ è stabile, la restrizione a $ K$ degli elementi di $ G$ è ben definita, e manda gli elementi di $ G$ in elementi di $ \Gal(K/F)$; il nucleo di tale mappa

  $\displaystyle \Gal(E/F) \to \Gal(K/F)$    
  $\displaystyle g \mapsto g \mid_{K}$    

è subito visto essere $ \Gal(E/K)$. D'altra parte

$\displaystyle \left\lvert \frac{\Gal(E/F)}{\Gal(E/K)} \right\rvert = \frac{\lef... ...rt E : K \rvert }} = \lvert K : F \rvert = \left\lvert \Gal(K/F) \right\rvert ,$    

ove abbiamo usato formula dei gradi, Lagrange, e l'identità $ \left\lvert \Gal(M/L) \right\rvert = \lvert M : L \rvert $ per una estensione normale $ M/L$. Per questioni di ordine, otteniamo l'importante isomorfismo

$\displaystyle \frac{\Gal(E/F)}{\Gal(E/K)} \cong \Gal(K/F).$    

Una dimostrazione alternativa si basa sul fatto che $ E$ è un campo di spezzamento su $ F$ di un polinomio separabile $ f \in F[x]$. Dunque $ E$ è campo di spezzamento dello stesso polinomio anche su $ L$. (Questo fornisce una dimostrazione alternativa, grazie al Teorema 4.2.1, del fatto che allora $ E /L$ è normale.) Dunque per il teorema di unicità posso estendere un elemento di $ \Gal ( L/F)$ a un elemento di $ \Gal(E/F)$. Questo argomento ci permetterà di estendere il risultato precedente al caso di estensioni algebriche anche di dimensione infinita.

next up previous contents
Next: Equazioni risolubili per radicali Up: Le lezioni Previous: Chiusure spezzanti e chiusure   Indice
A. Caranti
2000-05-31