Chiusure spezzanti e chiusure normali

Notiamo intanto il seguente utile Lemma, che caratterizza i campi di spezzamento senza che si debba nominare esplicitamente un polinomio.

Dimostrazione. Mediante argomenti simili a quelli usati per la caratterizzazione delle estensioni normali, si vede facilmente che la seconda condizione implica la prima.

Supponiamo adesso che sia il campo di spezzamento su di un polinomio $g \in F[x]$ . Sia per assurdo $f \in F[x]$ un polinomio monico e irriducibile che abbia una radice $\alpha \in E$ , ma una radice $\beta \notin E$ . Consideriamo i campi $F(\alpha) \subseteq E$ , $F(\beta)$ , ed $E(\beta) \ne E$ . Come al solito, c'è un isomorfismo su fra $F(\alpha)$ e $F(\beta)$ , dato che $\alpha$ e $\beta$ sono radici dello stesso polinomio irriducibile . Inoltre è ancora il campo di spezzamento su $F(\alpha)$ di , e $E(\beta)$ è il campo di spezzamento su $F(\beta)$ di . Per il Teorema di unicità 2.2.1, l'isomorfismo su fra $F(\alpha)$ ed $F(\beta)$ si estende a un isomorfismo fra e $E(\beta)$ . Ma questo è un isomorfismo su , e quindi dovrebbe in particolare essere un isomorfismo di spazi vettoriali su , e quindi conservare le dimensioni, dunque i gradi. Ma

$\displaystyle \lvert E(\beta) : F \rvert = \lvert E(\beta) : E \rvert \cdot \lvert E : F \rvert \ne \lvert E : F \rvert ,$

dato che $E(\beta) \ne E$ , e dunque $\lvert E(\beta) : E \rvert \ne 1$ .

Come accennato, molta della teoria finora trattata si può estendere a estensioni algebriche, di grado anche infinito. Per esempio per il risultato appena visto occorre sostituire l'argomento sulle dimensioni, che perde significato, con il seguente, che comunque si dimostra riducendosi al caso di grado finito.

In realtà dato che nei campi gli unici ideali sono lo zero e tutto, la condizione che il morfismo sia iniettivo è superflua, dato che chiediamo già che sia l'identità su

, e quindi non sia nullo.

Dimostrazione. Sia $\alpha \in E$ , e sia $f \in F[x]$ il suo polinomio minimo su

. Siano $\alpha_{1} = \alpha, \alpha_{2}, \dots, \alpha_{n}$ le radici di

, e sia $L = F (\alpha_{1}, \alpha_{2}, \dots, \alpha_{n})$ . Dato che $\varphi$ fissa gli elementi di

, per un argomento familiare deve mandare ogni $\alpha_{i}$ , che è una radice di

, in un altra radice $\alpha_{j}$ . Dunque $L \varphi \subseteq L$ . Ora però il grado $\lvert L : F \rvert$ è finito, e dunque per l'argomento su grado/dimensione del risultato appena visto deve essere $L \varphi = L$ . In particolare $\alpha$ sta nell'immagine di $\varphi$ . Dato che $\alpha$ era arbitrario, abbiamo che $\varphi$ è suriettiva.

Supponiamo ora di avere una estensione di grado finito

, e di voler ampliare

a un campo di spezzamento su

. Il risultato appena visto non ci lascia scelta. Scriviamo $E = F (\alpha_{1}, \dots, \alpha_{n})$ , e sia $f_{i}$ il polinomio minimo di $\alpha_{i}$ su

. Allora un campo di spezzamento che contenga

deve contenere tute le radici degli $f_{i}$ , per il risultato appena visto. Dunque il più piccolo campo di spezzamento che contenga

deve essere il campo di spezzamento

si $f = f_{1} \cdot \dots \cdot f_{n}$ . Se

è separabile, allora il polinomio

è separabile, e otteniamo che

è normale.

si dice la chiusura spezzante di

. Qualora

sia separabile,

si dice chiusura normale di

E' utile per il seguito vedere come

si possa costruire a partire da

. Cercando di evitare notazioni troppo pesanti,

è generata su

da tutte le radici dei vari polinomi $f_{i}$ . Sia $\beta$ una di queste radici. Per argomenti familiari, c'è un isomorfismo su

fra $F(\alpha_{i})$ e $F(\beta)$ che manda $\alpha_{i}$ in $\beta$ . Dato che

è un campo di spezzamento, in particolare sia su $F(\alpha_{i})$ che su $F(\beta)$ , questo isomorfismo si estende a un elemento $\varphi \in \Gal(M/F)$ . Dunque $\beta = \alpha_{i} \varphi \in E \varphi$ . Ne segue che

è generati da tutti i sottocampi $E \varphi$ , al variare di $\varphi \in \Gal(M/F)$ , cioè che

è il più piccolo campo che li contiene tutti. (Si usa dire che è

è il compositum, o composto, degli $E \varphi$ .)